高考数学解答题型一：解三角形例子
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高考数学解答题型一：解三角形例子
  • 例1：(2016天津文)在∆ABC中，内角A、B、C所对应的边分别为a、b、c，已知 asin2B=√3bsinA
    (1)求B；
    (2)若
    cosA =
    1
    3
    求sinC的值.
     
    解：

    (1)

    已知 asin2B=√3bsinA                           ……将题目的条件抄一遍

    由正弦定理   
    a
    sinA
    		 =
    b
    sinA
    		 =
    c
    sinC
    		 =
    2R
    		 （R是?ABC外接圆的半径）
                                                      ……写出要用的公式
     
    sin2θ = 2sinθcosθ
                                                                       ……写出要用的公式
      =>sinA·2sinBcosB = √3sinBsinA 
       
    ∵ sinA ≠ 0,  sinB ≠ 0
     =>   2cosB = √3                                       ……写出运算过程 
    => cosB =
    √3
    2
    又 ∵ 0 < B < π
    故
    B =
    π
    6
                                                                          ……写出结论   

    (2)已知
    cosA =
    1
    3
    A + B + C =  π,                                              ……写出题目的条件和要用的公式 
    sin²A + cos²A = 1 
    =>
    sinA =
    √1-cos²A
    		 =
    2√2
    3

    =>sinC = sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB
                                                                               ……先写公式再写运算过程
    =
    2√2
    3
    		 x
    √3
    2
    		 +
    1
    2
    		 x
    1
    3
    		 =
    2√6+1
    6


    例2  (2013江西理)在∆ABC中∠A B C所对应得边为a b c, 已知cosC+(cosA-√3sinA)cosB=0.
             (1) 求∠B的大小。
             (2) 若a+c=1, 求b的取值范围。

    解:  (1) 已知  cosC+(cosA-√3sinA)cosB=0                                  ------将题目的条件抄一遍

                 => -cos(A + B) + cosAcosB - √3sinAcosB = 0

                 => -cosAcosB + sinAsinB + cosAcosB - √3sinAcosB = 0   ------写出必要的运算过程

                 => sinAsinB - √3sinAcosB = 0 

                 ∵  sinA ≠ 0   =>  sinB = √3cosB

               => tanB =
    sinB
    cosB
    		 = √3

                 ∵  0 <  ∠B  < π
               => ∠B =
    π
    3
                                                                      ------得出结论
            (2) 由余弦定理得   

                  b² = a² + c² -2accosB               ------写出要用得公式
                                                 
                    = a² + c² - 2ac ·
    1
    2

                      = (a + c)² - 3ac                        ------写出必要的运算过程

             根据基本不等式

         
    ab
    		 ≤ (
    a+b
    2
    		 )² (a,b ∈ R﹢)

             得
             b²=(a+c)²-3ac
            ≥
    1-
    		 3· (
    a+b
    2
    		 )²  

          = 1 - 3 x
    1
    4
    		 =
    1
    4

                                                                       ------写出必要的计算过程
          =>
    1
    2
    		 ≤ b ＜ a+c = 1

            即
            
          b ∈ [
    1
    2
    		 , 1 )
                                                                       ------得出结论
发布者：嗨皮老师
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