高考数学解答题型二：数列
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高考数学解答题型二：数列
  • 题型二  数列

    1. 等差数列

        ① 定义  an+1- an=d    
       
        ② 通项公式 
                        an= a1 + (n-1)d
                 =>  an= am + (n-m)d
              => d =
    an-am
    n-m

        ③ 前n项和
        
               => Sn = na1 +
    n(n-1)
    2
    		 d
               => Sn =
    n(a1+an)
    2

         ④ 等差中项 若A B C成等差数列  则 2B = A + C

         ⑤ 性质 若 m + n = p + q  则 am + an = ap + aq  

    2. 等比数列

        ① 定义 
          
    an
    an+1
    		 = q

         ② 通项公式  an = a1qⁿ﹣¹ => an = amqⁿ﹣m

             ③ 前n项和
           
            Sn =
    a1(1-qⁿ)
    1-q

          ④ 等比中项  若A B C 成等比数列  则 B² = A ·C

          ⑤ 性质  若 m + n = p + q  则 am · an = ap · aq 

    3. an 与Sn的关系
     
       an = { S1 n = 1
    Sn-Sn-1 n ≥ 2

    4. 求数列通项公式的方法

    (1) 公式法
          
          ① 若已知    an+1 - an = d  和  a1=a  则用等差数列通项公式   an =  a1 + (n-1)d

          ② 若已知  
            
    an
    an+1
    		 = q
               和    a1=a ,  则用等比数列通项公式     an = a1qⁿ﹣¹

    (2)     an与Sn的关系
     
       an = { S1 n = 1
    Sn-Sn-1 n ≥ 2

    (3) 构造法   如 an+1 =  pan + q  (p  q为非零常数), 构造等比数列 an+1 + λ = p (an + λ )

    (4) 累加法  形如   an = an-1 + f (n)  且 f(n)可求和, 可用累加法

    (5) 累乘法  形如
        
    an
    an- 1
    		 = f(n)
          且f(n)可求积,可用累乘法

    (6) 取倒数法  形如
         an =
    an-1
    pan- 1+q
    (p, q为非零常数) 则两边同时取倒数

    5. 求数列前n项和Sn的方法

    (1) 公式法：除了用等差数列和等比数列前n项和的公式外，还应当记住以下求和公式

          ① 
        1+2+3+4+...+n =
    n(n+1)
    2

           ②  1+3+5+...+(2n-1) = n²

           ③  2+4+6+...+2n =  n²+ n

           ④ 
        a¹+a²+a³+...+aⁿ = aⁿ﹢¹-2

           ⑤
        1²+2²+3²+4²+...+n² =
    1
    6
    		 n(n+1)(2n+1)

            ⑥
        1³+2³+3³+4³+...+n³ =
    1
    2
    		 [ n(n+1) ]²

    (2) 裂项相减法
          
          ①
       
    1
    n(n+1)
    		 =
    1
    n
    		 -
    1
    n+1

          ②
       
    1
    n(n+k)
    		 =
    1
    k
    		 (
    1
    n
    		 -
    1
    n+k
    		 )

          ③
       
    1
    √n+k-√n
    		 =
    1
    k
    		 (
    √n+k
    		 -
    √n
    		 )

          ④
       
    1
    (2n-1)(2n+1)
    		 =
    1
    2
    		 (
    1
    2n-1
    		 -
    1
    2n+1
    		 )

    (3) 错位相减法  形如  an= 等差 x 等比的形式可用错位相减法

    (4) 分组求和法
发布者：嗨皮老师
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