高考数学解答题型二：数列
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题型二 数列
1. 等差数列
① 定义 an+1- an=d
② 通项公式
an= a1 + (n-1)d
=> an= am + (n-m)d
③ 前n项和
④ 等差中项 若A B C成等差数列 则 2B = A + C
⑤ 性质 若 m + n = p + q 则 am + an = ap + aq
2. 等比数列
① 定义
② 通项公式 an = a1qⁿ﹣¹ => an = amqⁿ﹣m
③ 前n项和
④ 等比中项 若A B C 成等比数列 则 B² = A ·C
⑤ 性质 若 m + n = p + q 则 am · an = ap · aq
3. an 与Sn的关系
| |
an |
= |
{ |
S1 |
n = 1 |
| Sn-Sn-1 |
n ≥ 2 |
4. 求数列通项公式的方法
(1) 公式法
① 若已知 an+1 - an = d 和 a1=a 则用等差数列通项公式 an = a1 + (n-1)d
② 若已知
和 a1=a , 则用等比数列通项公式 an = a1qⁿ﹣¹
(2) an与Sn的关系
| |
an |
= |
{ |
S1 |
n = 1 |
| Sn-Sn-1 |
n ≥ 2 |
(3) 构造法 如 an+1 = pan + q (p q为非零常数), 构造等比数列 an+1 + λ = p (an + λ )
(4) 累加法 形如 an = an-1 + f (n) 且 f(n)可求和, 可用累加法
(5) 累乘法 形如
且f(n)可求积,可用累乘法
(6) 取倒数法 形如
(p, q为非零常数) 则两边同时取倒数
5. 求数列前n项和Sn的方法
(1) 公式法：除了用等差数列和等比数列前n项和的公式外，还应当记住以下求和公式
①
② 1+3+5+...+(2n-1) = n²
③ 2+4+6+...+2n = n²+ n
④
⑤
| |
1²+2²+3²+4²+...+n² |
= |
1
6
|
n(n+1)(2n+1) |
⑥
| |
1³+2³+3³+4³+...+n³ |
= |
1
2
|
[ |
n(n+1) |
]² |
(2) 裂项相减法
①
②
| |
1
n(n+k)
|
= |
1
k
|
( |
1
n
|
- |
1
n+k
|
) |
③
| |
1
√n+k-√n
|
= |
1
k
|
( |
√n+k
|
- |
√n
|
) |
④
| |
1
(2n-1)(2n+1)
|
= |
1
2
|
( |
1
2n-1
|
- |
1
2n+1
|
) |
(3) 错位相减法 形如 an= 等差 x 等比的形式可用错位相减法
(4) 分组求和法
